日归档：2013 年 04 月 03 日

作者：杨超 本文地址：http://sokoban.ws/blog/?p=843 在博文《推箱子游戏的一个箱子推动路径搜索算法》中，我介绍了推箱子游戏如何用鼠标双击或拖放来进行推箱子操作。我知道的大概有十多个甚至二十多个推箱子软件都实现了这一功能。最近，anian告诉我，他通过用20603兄的《一箭十万》关卡测试了多个推箱子软件，发现《YSokoban》的速度最快，点击箱子，瞬间程序就给出了所有能被推到的格子的提示。而我编写的《SokoPlayer HTML5》则需要约2秒。经过和anian兄的讨论，我们改进了算法，大幅度提高的效率，使得《SokoPlayer HTML5》也能瞬间给出提示（约3毫秒）。下面简单介绍一下我们如何作出改进的。 在一个箱子推动路径搜索过程中，要反复判断人是否能从箱子的一侧自由移动（即不推动箱子情况下）到箱子的另一侧。这个不难判断，用简单的广度和深度优先搜索都能在线性时间内得到答案。但是箱子推动过程中，箱子位置在变化，要在不同的位置都作出判断。假设涉及到的格子有n个，每判断一次要O(n)时间，但箱子最多也可能出现在n个不同的格子，要做n次这样的判断，所以总的时间复杂度是O(n^2)。当关卡比较大时，如《一箭十万》是50×50的关卡，不算墙体，格子也上千，导致计算时间比较长。 后来，我们发现判断各种位置下人能否从箱子一侧自由移动到另一侧，可以用一个线性时间算法完成。这可以用图论里的割点（Cut Vertex）和块（Block）的理论和算法来帮助我们。举一个具体的例子来说明什么是割点和块。割点把关卡区域分割成不连通的小区域，称为块。下图关卡中，黄色格子为割点，共有10个块，分别用数字1到10标记。 我们若能把推箱子地图所对应的图中的割点和块全部标记出来，那么回答人能否从一侧移动到另一侧就很简单了。可以用这两步来判断：（1）先看箱子是否在一个 割点上。若不是割点，则人一定能从箱子一侧移动到任意的另一侧。若是割点，则还要进行第2步判断。（2）看该箱子这两侧的格子是否属于同一个块。若是，则 能移动。否则不行。 如上图中，若箱子在割点G6位置，人能从箱子左侧(F6)移动到上侧(G5)，因为属于同一个块3号。但不能从左侧(F6)移动到右侧(H6)。又若箱子在H4位置，由于H4不是割点，人可以从一侧移动到任意的另一侧。 标记图的所有割点和块，有一个线性时间算法。这是一个基于深度优先搜索（Depth First Search）的算法。在深度优先搜索过程中，对每个结点记录两个参数。一个是结点的深度depth，另一个是结点的低位数（low point）。一个结点v的低位数是这样计算的，取下面三者的最小值：（a）v自身的深度，（b）v的所有邻点（DFS树中的父结点除外）的深度，（c）DFS树中v的所有子结点的低位数。 在实现中，通常用递归函数来进行深度优先搜索，于是计算低位数可以这样处理。每发现一个新结点v时，把低位数初始为该结点的深度（即a）。对v的每个邻点，若是父结点，不管；若是父结点以外的已访问结点，且若该结点的深度较当前的低位数小，重新赋值v的低位数为该结点的深度（即b）；若是未访问结点，那么找到了一个子结点，于是递归调用搜索函数进行下一层搜索，返回时，若该子结点的低位数较小，则用它的更新v的低位数（即c）。 下面两幅图给出了一个例子，给出其DFS树（红色边），每个结点的深度和低位数。括号内为低位数，黄色结点为割点。 有了深度和低位数，如何判断割点和块呢？ 对于割点，判断条件很简单，若结点v有某一个子结点的低位数大于等于v的深度，则v是割点。 搜索的根结点比较特殊，它是割点的条件是在DFS树中有至少两个子结点。 对于块的标记可以按如下方法实现。首先注意到割点同时属于多个块，其他点则恰属于一个块。在深度搜索过程中，每从一个子结点返回，并且由子结点判断出其父结点v是割点时，就意味着找到一个新的块了。此时，把v及其所有子孙都标记为同一个块。标记之后，在DFS树中，把v的所有子孙删掉，但保留v。这样v的子孙就不会被重复标记。而v是割点，还可能属于另外一个块。 以上文的图为例。2(2)是个割点，从子结点3(2)返回是能判断出来，同时能发现一个块。而从子结点3(3)返回时也发现2(2)是割点，于是2(2)在另外一个块中也被标记了。 [后两个图用LibreOffice Draw制作] 2013年12月22日补充：关于寻找割点算法，可参看用深度优先搜索(DFS)确定图的割点。